Potenciação e Radiciação- Aula Super Completa! Confira Agora.

Preparando-me para o Exame de Admissão

Olá, entender sobre a Potenciação e Radiciação parte de pressuposto simples. No artigo anterior falamos de Percentagens -Aprenda como calcular percentagem

Muitas pessoas sentem uma certa dificuldade com questões que envolvem as regras de potenciação, principalmente alunos que acabam de ingressar no Ensino Secundário Geral.

Então pretendo com essa aula esclarecer os pontos mais importantes sobre este tema a fim de torná-lo mais fácil e compreensível de ser utilizada na resolução de problemas a nossa volta e garantir com que enfrente com mais persistência o exame de admissão a UEM e UP.

 Mas, antes de falar sobre potenciação e suas propriedades, é necessário que primeiro saibamos o que vem a ser uma potência.

 Conheces aquelas multiplicações sucessivas que envolvem factores iguais (mesmo número)? Estou a falar de:

\displaystyle \begin{array}{*{35}{l}} 3\times 3\times 3\times 3 \\ 5\text{ }\times \text{ }5\text{ }\times \text{ }5 \\ 7\times 7\times 7\times 7\times 7\times 7\times 7\times 7\times 7\times 7 \\ \end{array}

Para operar com este tipo de operações, há necessidade de facilitarmos a sua escrita, isto é, colocarmos sobre forma de potência. Pegando a sequência anterior ficamos com:

\displaystyle \begin{array}{*{35}{l}} 3\times 3\times 3\times 3={{3}^{4}} \\ 5\text{ }\times \text{ }5\text{ }\times \text{ }5={{5}^{3}} \\ 7\times 7\times 7\times 7\times 7\times 7\times 7\times 7\times 7\times 7={{7}^{10}} \\ \end{array}

Como podemos ver, para cada caso colocamos sob forma de potência.

Podemos dizer que potência é a representação da multiplicação de factores iguais.

 Então para o primeiro caso temos:

\displaystyle {{3}^{4}} , onde o \displaystyle 3 é o factor que se repete e chama-se Base da Potência;

\displaystyle 4 é o Expoente, este indica o número de vezes que se repete a base.

Observação:

Todo número pertencente ao conjunto dos números reais, com o expoente um (1) é igual a ele mesmo.

\displaystyle {{a}^{1}}=a,\quad \forall a\in \mathbb{R}

e todo número diferente de zero pertencente ao conjunto dos números reais com o expoente zero (0), é igual a um (1).

\displaystyle {{a}^{0}}=1,\quad \forall a\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}

Realizando Operações com Potências

Multiplicação de Potências com Bases Iguais e Expoentes Diferentes

 Ao multiplicarmos potências com bases iguais e expoentes diferentes, mantemos a base e somamos os expoentes.

 \displaystyle \begin{array}{l}{{3}^{4}}\times {{3}^{5}}={{3}^{4+5}}={{3}^{9}}\\\\{{4}^{\frac{1}{3}}}\times {{4}^{2}}={{4}^{\frac{1}{3}+2}}={{4}^{\frac{1+6}{3}}}={{4}^{\frac{7}{3}}}\\\\{{6}^{\frac{1}{3}}}\times {{6}^{-\frac{5}{3}}}={{6}^{\frac{1}{3}+\left( -\frac{5}{3} \right)}}={{6}^{\frac{1}{3}-\frac{5}{3}}}={{6}^{-\frac{4}{3}}}\end{array}

Divisão de Potências com Bases Iguais e Expoentes Diferentes

Ao dividirmos potências com bases iguais e expoentes diferentes, mantemos a base e subtraímos os expoentes.

 \displaystyle \begin{array}{l}{{3}^{4}}\div {{3}^{5}}={{3}^{4-5}}={{3}^{-1}}\\\\{{4}^{\frac{1}{3}}}\div {{4}^{2}}={{4}^{\frac{1}{3}-2}}={{4}^{\frac{1-6}{3}}}={{4}^{-\frac{5}{3}}}\\\\{{6}^{\frac{1}{3}}}\div {{6}^{-\frac{5}{3}}}={{6}^{\frac{1}{3}-\left( -\frac{5}{3} \right)}}={{6}^{\frac{1}{3}+\frac{5}{3}}}={{6}^{\frac{6}{3}}}={{6}^{2}}\end{array}

Multiplicação de Potências com Expoentes Iguais e Bases Diferentes

Ao multiplicarmos potências com expoentes iguais e bases diferentes, mantemos o expoente e multiplicamos as bases.

 \displaystyle \begin{array}{l}{{3}^{2}}\times {{4}^{2}}={{\left( 3\times 4 \right)}^{2}}={{12}^{2}}\\\\{{4}^{\frac{1}{3}}}\times {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{\frac{1}{3}}}={{\left[ 4\times \left( \frac{1}{2} \right) \right]}^{\frac{1}{3}}}={{\left( \frac{4}{2} \right)}^{\frac{1}{3}}}={{2}^{\frac{1}{3}}}\end{array}

Divisão de Potências com Expoentes Iguais e Bases Diferentes

Ao dividirmos potências com expoentes iguais e bases diferentes, mantemos o expoente e dividimos as bases.

 \displaystyle \begin{array}{l}{{12}^{2}}\div {{4}^{2}}={{\left( 12\div 4 \right)}^{2}}={{3}^{2}}\\\\{{4}^{\frac{1}{3}}}\div {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{\frac{1}{3}}}={{\left[ 4\div \left( \frac{1}{2} \right) \right]}^{\frac{1}{3}}}={{\left[ 4\times \left( \frac{2}{1} \right) \right]}^{\frac{1}{3}}}={{\left( 4\times 2 \right)}^{\frac{1}{3}}}={{8}^{\frac{1}{3}}}\end{array}

Potência de Potência

Quando falamos de potência de potência, estamos a tratar sobre a sobreposição de potências, isto é “um expoente em cima doutro expoente!!!????” ou “uma potência elevada um expoente!!!????”.

Exemplo:

Como desenvolver uma Potência de Potência

Vamos consi derar os exemplos abaixo:

 \displaystyle {{\left( {{3}^{2}} \right)}^{4}}

Desenvolvendo fica:

 \displaystyle {{\left( {{3}^{2}} \right)}^{4}}={{3}^{2}}\times {{3}^{2}}\times {{3}^{2}}\times {{3}^{2}}={{3}^{2+2+2+2}}={{3}^{8}}

 e a outra maneira pode ser, manter a base e multiplicar os expoentes, isto é:

 \displaystyle {{\left( {{3}^{2}} \right)}^{4}}={{3}^{2\times 4}}={{3}^{8}}

Tome Nota:

  • Uma potência só pode ser negativa se tiver base negativa e expoente ímpar.
  • Uma potência de expoente par, é sempre positiva independentemente do sinal da base.
  • Sempre que o zero for base de uma potência, ela será igual a zero.
  • Sempre que o zero for expoente de uma potência de base diferente de zero, ela será igual a 1, como vimos acima.

Entendendo a Radiciação…

Falamos de Raiz Quadrada quase sempre. Nunca ouviu? Estou a referir uma coisa como \sqrt{a} que também podemos transformar em um potência, ficando {{a}^{\frac{1}{2}}}.

Usando a propriedade acima, consideremos \sqrt{4} que resolvendo fica:

\sqrt{4}={{4}^{\frac{1}{2}}}={{\left( {{2}^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}={{2}^{2\times \frac{1}{2}}}={{2}^{1}}=2

Como podemos notar acima, transformamos primeiro em uma potência e depois para potência de potência.

Servindo-se da mesma lógica, então podemos afirmar que:

\displaystyle \begin{array}{l}\sqrt{16}=4\quad porque\quad {{4}^{2}}=16\\\sqrt{225}=15\quad porque\quad {{15}^{2}}=225\end{array}

Raiz de Índice \displaystyle n

Chama-se raiz de índice \displaystyle n de um número real \displaystyle b ao número real \displaystyle a , tal que:

\displaystyle {{a}^{n}}=b

Onde:

\displaystyle n é o índice do radical

\displaystyle b é o radicando

  • Se o \displaystyle n for ímpar o \displaystyle b pode ser qualquer valor real
  • Caso o \displaystyle n seja par o \displaystyle b deve ser qualquer valor real positivo ou zero.

Como efectuar a Multiplicação e Divisão de Radicais

Quando multiplicarmos radicais com mesmo índice obtemos um outro radical com índice igual e que o radicando resultante é o produto dos radicandos dados.

 \displaystyle \sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\times b}

Quando dividimos radicais com mesmo índice obtemos um outro radical com índice igual e que o radicando resultante é o quociente dos radicandos dados.

\displaystyle \sqrt[n]{a}\div \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\div b}

Agora, acompanhe os exercícios dados:

\displaystyle \sqrt[4]{3}\times \sqrt[4]{2}=\sqrt[4]{3\times 2}=\sqrt[4]{8}

 

\displaystyle \sqrt[6]{\frac{3}{2}}\times \sqrt[6]{2}=\sqrt[6]{\frac{3}{2}\times 2}=\sqrt[6]{\frac{6}{2}}=\sqrt[6]{3}

Simplificação de Radicais

Há casos em que temos que resolver raízes com índices diferentes, o que faz com que haja a simplificação de radicais.

Veja como é feita.

\displaystyle \sqrt[p]{{{a}^{q}}}=\sqrt[p\times k]{{{a}^{q\times k}}}={{a}^{\frac{q\times k}{p\times k}}}

Estamos a dizer acima que, se multiplicarmos o índice do radical e o expoente do radicando pelo mesmo número não nulo, o valor do radical não se altera.

\displaystyle \sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{{{2}^{3}}}=\sqrt[3\times 4]{{{2}^{3\times 4}}}=\sqrt[12]{{{2}^{12}}}

Veja a seguir o caso em que esta propriedade pode nos ajudar.

\displaystyle \sqrt[3]{4}\times \sqrt{2}

Para este, vamos começar por achar o vulgo mmc de (\displaystyle 3\displaystyle 2), que são índices dos radicais, obteremos \displaystyle 6.

Para o primeiro factor fica:

\displaystyle \sqrt[3\times 2]{{{4}^{2}}}=\sqrt[6]{{{4}^{2}}}=\sqrt[6]{16}

Para o segundo:\displaystyle \sqrt{2}=\sqrt[2\times 3]{{{2}^{3}}}=\sqrt[6]{{{2}^{3}}}

Com os ajustes que acabamos de fazer, a expressão no geral fica:

\displaystyle \sqrt[3]{4}\times \sqrt{2}=\sqrt[6]{16}\times \sqrt[6]{{{2}^{3}}}=\sqrt[6]{16\times {{2}^{3}}}=\sqrt[6]{16\times 8}

Adição e Subtracção de Radicais

A adição e subtracção de radicais, opera em radicais semelhantes.

O que são Radicais semelhantes

São aqueles que a sua diferença está nos coeficientes

\displaystyle \sqrt[6]{3}\quad 2\sqrt[6]{3}\quad 7\sqrt[6]{3}

A adição e subtracção de radicais semelhantes, faz-se aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação a adição.
\displaystyle 2\sqrt[6]{3}+7\sqrt[6]{3}=\left( 2+7 \right)\sqrt[6]{3}=9\sqrt[6]{3}

 

\displaystyle 2\sqrt[6]{3}-6\sqrt[6]{3}=\left( 2-6 \right)\sqrt[6]{3}=-4\sqrt[6]{3}

Chegado até aqui, julgo que muita coisa conseguiu aproveitar. Não esquece de deixar seu email, para receberes mais dicas aqui em baixo.

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