O que é Limite? – Saiba agora, usando definição formal

O que é Limite? – Saiba agora, usando definição formal

Ora viva, depois da aula introdutória sobre os limites, vamos abordar nesta a definição formal do limite.

Vamos lá….

O que é Limite?

Dada a função y = f(x), definida no intervalo real (a, b), dizemos que esta função f possui um limite finito L quando x tende para um valor x0, se para cada número positivo e , por menor que seja, existe em correspondência um número positivo d , tal que para
| x – x0 | < d  , se tenha |f(x) – L | < e , para todo x  ≠ x0 .

Indicamos que L é o limite de uma função f( x ) quando x tende a x0 , através da simbologia abaixo:

lim f(x) = L
x→x0

Vamos a seguir tentar provar, usando a definição de limite vista acima, que:

lim (x + 7) = 10
x→ 3

Temos no caso:
f(x) = x + 7
x0 = 3
L = 10.

Com efeito, deveremos provar que dado um e > 0 arbitrário, deveremos encontrar um d > 0, tal que,
para  |x – 3| < d , se tenha |(x + 7) – 10| < e . Ora, |(x + 7) – 10| < e é equivalente a | x – 3 | < e .
Portanto, a desigualdade |x – 3| < d , é verificada, e neste caso d = e .
Concluímos então que 8 é o limite da função para x tendendo a 3 ( x → 3) .

Aprecie alguns aspectos preliminares antes de avançarmos tanto:

1. É conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando x → x0 , não depende necessariamente que a função esteja definida no ponto x0 , pois quando calculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto queiramos do ponto x0 , porém não coincidente com x0, ou seja, consideramos os valores da função na vizinhança do ponto x0 .

Com isto, queremos dizer que, no cálculo de limite interessa o comportamento da função quando x se aproxima de a e não o que ocorre com a função quando x= a.

Consideremos o cálculo do limite da função abaixo, para x →3.

    \[\mathop {f(x) = }\limits_{} \frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}}\]

Observe que para x = 3, a função não é definida.

Entretanto, lembrando que x2 – 9 = (x + 3) (x – 3), substituindo e simplificando, a função fica igual a f(x) = x + 3, cujo limite para x → 3 é igual a 6, obtido pela substituição directa de x por 3.

2. O limite de uma função y = f(x), quando x → x0, pode inclusive, não existir, mesmo a função estando definida neste ponto x0 , ou seja , existindo f(x0).

3. Ocorrerão casos nos quais a função f(x) não está definida no ponto x0, porém existirá o limite de f(x) quando x → x0 .

4. Nos casos em que a função f(x) estiver definida no ponto x0 , e existir o limite da
função f(x) para x → x0 e este limite coincidir com o valor da função no ponto x0, diremos que a função f(x) é CONTÍNUA no ponto x0 .

5. Em função da definição do limite de uma função, se x tende para x0, para valores imediatamente inferiores a x0, dizemos que temos um limite à esquerda da função. Se x tende para x0, para valores imediatamente superiores a x0, dizemos que temos um limite à direita da função. Pode-se demonstrar que se esses limites à direita e à esquerda forem iguais, então este será o limite da função quando

x → x0.

Depois desta aula, iremos a seguir abordar as propriedades do limite de uma função.

Quero pular esta parte porque Preciso ver como resolver exercícios sobre limites! Ok tudo bem.

Então assista as aulas no Canal do Youtube

Fique com Deus, até lá.

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O Exame

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