Multiplicação e Divisão de Polinómios→Preparação para exames de admissão de Matemática para UEM e UP

Espero que esteja bem de saúde. Conseguiu acompanhar a aula anterior? Se não acesse agora

Multiplicação de Polinómios

O produto de dois polinómios é o polinómio que se obtêm multiplicando cada termo do 1º por cada termo do 2º polinómio e adicionando os monómios obtidos.

Para melhor compreensão do exposto, veja o exemplo:

\begin{array}{l}A(x)={{x}^{2}}-3x+4\quad e\quad B(x)=x-2\\A(x).B(x)\\=({{x}^{2}}-3x+4).(x-2)\\={{x}^{2}}.x+{{x}^{2}}.(-2)-3x.x-3x.(-2)+4.x+4.(-2)\\={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-3{{x}^{2}}+6x+4x-8\\={{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+10x-8\end{array}

A seguir outro exemplo:

\begin{array}{l}A(x)={{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+1\quad e\quad B(x)=2{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-3x\\A(x).B(x)\\=({{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+1).(2{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-3x)\\={{x}^{4}}.2{{x}^{3}}+{{x}^{4}}.2{{x}^{2}}+{{x}^{4}}.(-3x)-3{{x}^{3}}.2{{x}^{3}}-3{{x}^{3}}.2{{x}^{2}}-3{{x}^{3}}.(-3x)+2{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-3x\\=2{{x}^{7}}+2{{x}^{6}}-3{{x}^{5}}-6{{x}^{6}}-6{{x}^{5}}+9{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-3x\\=2{{x}^{7}}-4{{x}^{6}}-9{{x}^{5}}+9{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-3x\end{array}

Divisão de Polinómios

Tenho a certeza que não tens problemas para dividir números pequenos usando a dita “fórmula vertical”. Então vamos usar o mesmo procedimento para a divisão de polinómios.

Considere: (3{{x}^{2}}+2x+4)\div (x-2)

Resolvendo fica:

\displaystyle \begin{array}{l}3{{x}^{2}}+2x+4\left| x-2 \right.\\\underline{-3{{x}^{2}}+6x}\quad \quad 3x+8\\\quad \quad \ -8x+4\\\quad \quad \underline{-8x+16}\\\quad \quad \quad \ 0+20\end{array}

Vamos agora fazer a prova, pegando o divisor multiplicar com o quociente e adicionar com o resto:

 \begin{array}{l}(x-2)(3x+8)+20\\=3{{x}^{2}}+8x-6x-16+20\\=3{{x}^{2}}+2x+4\end{array}

Se o resto se reduz a zero, diz-se que a divisão é exacta.

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