Limites no Infinito-Aula muito simplificada

Depois de termos visto os limites laterais, vamos tratar agora sobre limites no infinito.

Bem antes de atender casos concretos, vamos realçar alguns aspectos importantes.

No cálculo de limites, serão consideradas as igualdades simbólicas, a seguir, envolvendo os símbolos de mais infinito (+ \infty ) e menos infinito (- \infty), que representam quantidades de módulo infinitamente grande. É conveniente salientar que, o infinitamente grande, não é um número e, sim , uma tendência de uma variável, ou seja: a variável aumenta ou diminui, sem limite.

Na realidade, os símbolos + \infty e - \infty, não representam números reais, não podendo ser aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de cálculo algébrico.

Considere b\in R – conjunto dos números reais, teremos as seguintes igualdades simbólicas:

\begin{array}{l}b+(+\infty )=+\infty \\b+(-\infty )=-\infty \\+\infty +(+\infty )=+\infty \\-\infty +(-\infty )=-\infty \\+\infty +(-\infty )=nada\quad se\quad pode\quad afirmar\quad inicialmente.\\(+\infty ).(+\infty )=+\infty \\+\infty .0=nada\quad se\quad pode\quad afirmar\quad inicialmente\\\frac{\infty }{\infty }=nada\quad se\quad pode\quad afirmar\quad inicialmente\end{array}

 

No cálculo de limites de funções, é muito comum chegarmos a expressões indeterminadas, o que significa que, para encontrarmos o valor do limite, teremos que levantar a indeterminação, usando as técnicas algébricas. Os principais símbolos de indeterminação, são:

\infty -\infty ;\quad \infty .0;\quad \frac{\infty }{\infty };\quad {{\infty }^{0}};\quad \frac{0}{0};\quad {{1}^{\infty }};\quad {{1}^{-\infty }}

Vamos agora encontrar os limites das seguintes funções.

\begin{array}{l}a)\quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(4{{x}^{2}}-7x+3)\\b)\quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(-3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-5x+3)\\c)\quad \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(5{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}-3x+2)\\d)\quad \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(3{{x}^{4}}-7{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-5x-4)\end{array}

 

Resolução:

\begin{array}{l}a)\quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(4{{x}^{2}}-7x+3)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(4{{x}^{2}})=+\infty \\b)\quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(-3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-5x+3)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(-3{{x}^{3}})=-\infty \\c)\quad \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(5{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}-3x+2)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(5{{x}^{3}})=-\infty \\d)\quad \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(3{{x}^{4}}-7{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-5x-4)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(3{{x}^{4}})=+\infty \end{array}

Que tal vermos mais uns exemplos! Então vamos lá….

\begin{array}{l}e)\quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+2}{5x-1}\\f)\quad \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{5-4x}{2x-3}\\g)\quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{5{{x}^{2}}-4{{x}^{{}}}+3}{3x+2}\\h)\quad \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4x-1}{3{{x}^{2}}+5{{x}^{{}}}-2}\end{array}

 

Uhmmm! Tens ideia de como  resolver? Não se preocupe veja a resolução simplificada abaixo:

\begin{array}{l}e)\quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+2}{5x-1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3x}{5x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3}{5}=\frac{3}{5}\\f)\quad \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{5-4x}{2x-3}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-4x}{2x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(-2)=-2\\g)\quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{5{{x}^{2}}-4{{x}^{{}}}+3}{3x+2}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{5{{x}^{2}}}{3x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{5{{x}^{{}}}}{3}=+\infty \\h)\quad \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4x-1}{3{{x}^{2}}+5{{x}^{{}}}-2}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4x}{3{{x}^{2}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4}{3{{x}^{{}}}}=0\end{array}

 

Que tal, podemos parar um pouco.!?

Poderá visitar o Canal do Youtube para assistir as aulas sobre limites e algumas questões dos exames de admissão em vídeos aulas.

Muito bem, até na próxima aula. Deixe seu comentário.

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