Função Logarítmica→Estudo da Função Logarítmica

Função Logarítmica→Estudo da Função Logarítmica

Logaritmo

Para melhor mergulharmos nesta função, vamos começar por perceber o que é logaritmo.

Vamos tomar como exemplo a igualdade: \displaystyle {{2}^{3}}=8, onde o número \displaystyle 2 é a base, o número \displaystyle 3 o expoente e o número \displaystyle 8 é a potência. A operação que associa os números \displaystyle 2 e \displaystyle 3 (base e expoente) ao número \displaystyle 8 chama-se potenciação.
Podemos considerar que dessa operação derivam duas outras operações. Observe as seguintes questões.

Primeira: conhecendo a potência e o expoente, encontrar o valor da base \displaystyle x, ou seja:

\displaystyle {{x}^{3}}=8

A esta operação vamos atribuir a seguinte notação:

\displaystyle \sqrt[3]{8}=x, onde \displaystyle x=2, pois \displaystyle {{2}^{3}}=8

A operação usada foi a radiciação.

Segunda: Conhecendo a potência e a base, encontrar o valor do expoente \displaystyle x, ou seja:

\displaystyle {{2}^{x}}=8

A esta operação vamos atribuir a seguinte notação:

\displaystyle {{\log }_{2}}8=x, onde \displaystyle x=3 pois pois \displaystyle {{2}^{3}}=8

A operação é denominada logaritmação e o expoente \displaystyle x, logaritmo

Definição e existência

Considerando dois números reais, \displaystyle a e \displaystyle b, positivos com \displaystyle a\ne 1. Chamaremos logaritmo do número \displaystyle b na base \displaystyle a, o expoente \displaystyle c, de forma que {{a}^{c}}=b.

Em símbolos temos:

\displaystyle {{\log }_{a}}b=c\Leftrightarrow {{a}^{c}}=b

Condição de existência: b>00<a\ne 1

Nomenclatura

Antilogaritmo ou logaritmando é o número \displaystyle b.

Base é o número \displaystyle a.

Logaritmo é o número \displaystyle c.

Vamos apreciar alguns exemplos para melhor elucidação:

a) {{\log }_{2}}16=4, pois se {{\log }_{2}}16=x, então:

{{2}^{x}}=16\Rightarrow {{2}^{x}}={{2}^{4}}\Rightarrow x=4

b) {{\log }_{7}}\frac{1}{49}=-2, pois se {{\log }_{7}}\frac{1}{49}=x, então:

{{7}^{x}}=\frac{1}{49}\Rightarrow {{7}^{x}}=\frac{1}{{{7}^{2}}}\Rightarrow {{7}^{x}}={{7}^{-2}}\Rightarrow x=-2

c) {{\log }_{\frac{5}{3}}}0,6=-1, pois se {{\log }_{\frac{5}{3}}}0,6=x, então:

{{\left( \frac{5}{3} \right)}^{x}}=0,6\Rightarrow {{\left( \frac{5}{3} \right)}^{x}}=\frac{6}{10}\Rightarrow {{\left( \frac{5}{3} \right)}^{x}}={{\left( \frac{3}{5} \right)}^{1}}\Rightarrow {{\left( \frac{5}{3} \right)}^{x}}={{\left( \frac{5}{3} \right)}^{-1}}\Rightarrow x=-1

Exercício Resolvido

Calcule o valor de \displaystyle x na igualdade: {{\log }_{9}}3\sqrt{27}=x

\begin{array}{l}{{\log }_{9}}3\sqrt{27}=x\Rightarrow {{9}^{x}}=3\sqrt{27}\Rightarrow {{3}^{2x}}=3\sqrt{{{3}^{3}}}\\\Rightarrow {{3}^{2x}}={{3.3}^{\frac{3}{2}}}\Rightarrow {{3}^{2x}}={{3}^{1+\frac{3}{2}}}\Rightarrow {{3}^{2x}}={{3}^{\frac{5}{2}}}\\\Rightarrow 2x=\frac{5}{2}\Rightarrow x=\frac{5}{2}.\frac{1}{2}\\x=\frac{5}{4}\end{array}

Condições de existência

De modo a facilitar a compreensão de condições de existência dos logaritmos. A base \displaystyle a de um logaritmo não pode ser negativa, não pode ser igual a zero (\displaystyle 0) nem igual a um (\displaystyle 1).

Exemplo:

a) Não existe {{\log }_{-3}}27, pois não existe \displaystyle x real para que se tenha {{(-3)}^{x}}=27.

b) Não existe {{\log }_{0}}8, pois não existe \displaystyle x real para que se tenha {{0}^{x}}=8.

c) Não existe {{\log }_{1}}4, pois não existe \displaystyle x real para que se tenha {{1}^{x}}=4.

O logaritmando \displaystyle b não pode ser negativo e nem igual a zero.

Exemplo:

a) Não existe {{\log }_{2}}(-8), pois não existe \displaystyle x real para que se tenha {{2}^{x}}=-8.

b) Não existe {{\log }_{5}}0, pois não existe \displaystyle x real para que se tenha {{5}^{x}}=0.

Sistema de logaritmos decimais

É um sistema de logaritmos no qual se adopta a base 10, o que vem a simplificar cálculos no campo da Matemática.

Para este caso, na notação iremos omitir a base.

Exemplo:

a) {{\log }_{10}}3=\log 3

b) {{\log }_{10}}x=\log x

Sistema de logaritmos neperianos

É um sistema de logaritmos de base e(e=2,718..., denominado numero de Euler), e é apresentado escrevendo-se um das formas: {{\log }_{e}} ou \ln.
No próximo artigo, vamos abordar sobre as Propriedades dos logaritmos na expectativa de que você possa se sair bem nos exames de admissão de Matemática para uem e UP.

Quer baixar exames de admissão dos anos anteriores? Clica neste link.

Se viu algum erro, ajude-me a rectificar e também deixe seu comentário.

Até lá. Sucessos

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O Exame

1 comentário

Elisio Anastancio Bande Publicado em1:06 pm - Setembro 12, 2017

Gostri, mas pedia me manda vidios de calculos passa a passo.

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