Equações Exponenciais – técnicas básicas para a resolução de exames de admissão de matemática UEM e UP

Espero que esteja bem de saúde. Estamos de volta mais uma vez, tratando de assuntos que garantirão o nosso sucesso para os exames de admissão da UEM e UP.

O caminho para UEM e UP é longo e complexo, uma vez que requer muita motivação.

O segredo é conhecer a fórmula do nosso site:

Admissão na UEM ou UPPlaneamento + Implementação + Controlo

Aliás no artigo Preparação para Exames de Admissão da UEM e UP, Como se preparar? encontras o pontapé de saída e sucesso.

Para complementar deixo as Dicas do que deve saber a Matemática para admitir na UEM e UP.

Ok, vamos lá……

Equações Exponenciais – técnicas básicas para a resolução de exames de admissão de matemática UEM e UP

Equação Exponencial

Sabes o que é uma equação exponencial?

Algumas equações apresentam a incógnita como expoente, nesse caso, são denominadas equações exponenciais.

Vamos considerar os exemplos:

\begin{array}{l}a)\ {{5}^{x}}=125\\b)\ {{3}^{x(x+2)}}=27\\c)\ {{11}^{(x-2)}}=1\\d)\ {{5}^{2x}}-{{4.5}^{x}}+3=0\end{array}

A resolução das equações exponenciais requer o conhecimento das propriedades das potências e a utilização de alguns artifícios.

Só para recordar acesse:

Potenciação e Radiciação- Aula Super Completa!

Para facilitar a abordagem didáctica das equações exponenciais, levaremos em conta três (3) tipos de resolução.

1ºTIPO

Ao começar vamos resolver as equações exponenciais transformando-as em igualdades de mesma base.

Vamos ver alguns exemplos:

a)\ {{5}^{x}}=125

Primeiro devemos igualar as bases, usando a decomposição em factores primos, onde depois podemos desprezá-las e considerarmos a igualdade entre os expoentes.

Logo, {{5}^{x}}={{5}^{3}}\Rightarrow x=3

Temos a solução: \left\{ 3 \right\}

b)\ {{3}^{x}}=\frac{1}{81}\Rightarrow {{3}^{x}}=\frac{1}{{{3}^{4}}}\Rightarrow {{3}^{x}}={{3}^{4}}\Rightarrow x=4

Temos a solução: \left\{ 4 \right\}

c)\ {{121}^{(x-2)}}=1\Rightarrow {{({{11}^{2}})}^{(x-2)}}=1

Igualamos as bases depois de substituir 1 por {{11}^{0}}.

\begin{array}{l}{{({{11}^{2}})}^{(x-2)}}={{11}^{0}}\\2(x-2)=0\\2x-4=0\\2x=4\\x=2\end{array}

Temos a solução: \left\{ 2 \right\}

Gostaria de ver outra resolução? Aqui está:

\begin{array}{l}{{121}^{(x-2)}}=1\\{{121}^{(x-2)}}={{121}^{0}}\\x-2=0\\x=2\end{array}

\begin{array}{l}d)\ {{49}^{(x)}}=\sqrt[4]{343}\\{{\left( {{7}^{2}} \right)}^{x}}=\sqrt[4]{{{7}^{3}}}\end{array}

A seguir transformamos o radical em potência de expoente fraccionário.

\begin{array}{l}{{\left( {{7}^{2}} \right)}^{x}}=\mathop{7}^{\frac{3}{4}}\\2x=\frac{3}{4}\\x=\frac{3}{4}.\frac{1}{2}\\x=\frac{3}{8}\end{array}

Temos a solução:\left\{ \frac{3}{8} \right\}

2ºTIPO

A resolução de determinadas equações exponenciais exige, alem da mudança de base, a utilização de alguns artifícios.

Exemplos:

a)\ {{5}^{x+1}}+{{5}^{x+2}}=30

Nesse caso podemos separar cada termo com incógnita em potências de mesma base e em seguida faremos a mudança de variável. É bom lembrarmos que:

\begin{array}{l}{{a}^{m+n}}={{a}^{m}}.{{a}^{n}}\\{{5}^{x}}{{.5}^{1}}+{{5}^{x}}{{.5}^{2}}=30\end{array}

Considerando {{5}^{x}}=m:

\begin{array}{l}m.5+m.25=30\\30.m=30\\m=1\end{array}

Substituindo m=1, obtemos o valor de x

\begin{array}{l}{{5}^{x}}=m\\{{5}^{x}}=1\\{{5}^{x}}={{5}^{0}}\\x=0\end{array}

A nossa solução: Temos a solução: \left\{ 0 \right\}

3ºTIPO

Neste caso fazemos a substituição de variável e resolvemos a equação de 2ºgrau obtida. Podemos ver alguns exemplos:

a)\ {{2}^{2x}}-{{3.2}^{x}}+2=0

Considerando {{2}^{x}}=m, temos:

\begin{array}{l}{{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}-{{3.2}^{x}}+2=0\\{{m}^{2}}-3m+2=0\end{array}

Agora resolvemos a equação do 2ºgrau:

\begin{array}{l}\Delta ={{b}^{2}}-4ac\\\Delta ={{(-3)}^{2}}-4.1.2\\\Delta =9-8\\\Delta =1\end{array}

Agora vamos achar as raízes:

\begin{array}{l}\mathop{m}_{1;2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}\\\mathop{m}_{1;2}=\frac{-(-3)\pm \sqrt{1}}{2.1}\\\mathop{m}_{1;2}=\frac{3\pm 1}{2}\\\mathop{m}_{1}=\frac{3+1}{2}=2\\\mathop{m}_{2}=\frac{3-1}{2}=1\end{array}

Determinamos os valores de x:

\begin{array}{l}{{2}^{x}}=m\Rightarrow {{2}^{x}}=1\Rightarrow {{2}^{x}}={{2}^{0}}=x=0\\{{2}^{x}}=m\Rightarrow {{2}^{x}}=2\Rightarrow x=1\end{array}

Temos a solução: \left\{ 0,1 \right\}

Se chegou até aqui é sinal de persistência. Sucessos

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