Cálculo de limites de uma função polinomial que envolve indeterminação

Gente boa, tudo bom? Depois de termos visto um pouco sobre a demonstração das propriedades do limite de uma função, vamos neste artigo calcular alguns limites com indeterminações.

Vamos considerar e prestar atenção nos exemplos abaixo:

    \[\mathop {a)\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 2x}}\]

Temos \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} - 4} \right) = 0\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} - 2x} \right) = 0 e nada podemos concluir ainda sobre o limite procurado.

Os polinómios {{x^2} - 4}{{x^2} - 2x} anulam-se para x = 2,portanto, pelo teorema de D’Alembert, são divisíveis por x - 2, isto é:

\frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 2x}} = \frac{{(x + 2) + (x - 2)}}{{x(x - 2)}} = \frac{{(x + 2)}}{x}

Considerando que no cálculo do limite de uma função quando x tende a a interessa o comportamento da função quando x se aproxima de a e não o que ocorre com a função quando x = a, concluímos:

\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x + 2)}}{x} = \frac{{(2 + 2)}}{2} = 2

Acompanhe outros exemplos a seguir:

b)\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)(x + 1)}}{{(x - 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2

\begin{array}{l} c)\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{4 - {x^2}}}{{2 + x}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{2^2} - {x^2}}}{{2 + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{ - {x^2} + {2^2}}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{ - ({x^2} - {2^2})}}{{x + 2}} = \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{ - (x - 2)(x + 2)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} - (x - 2) = - ( - 2 - 2) = 4 \end{array}

\begin{array}{l} d)\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{3}{2}} \frac{{4{x^2} - 9}}{{2x - 3}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right]\mathop { = \lim }\limits_{x \to \frac{3}{2}} \frac{{{{(2x)}^2} - {3^2}}}{{2x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{3}{2}} \frac{{(2x - 3)(2x + 3)}}{{2x - 3}} = \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{3}{2}} (2x + 3) = 2.\frac{3}{2} + 3 = 3 + 3 = 6 \end{array}

\begin{array}{l} \mathop {e)\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}} = \left[ {\frac{0}{0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - {1^3}}}{{{x^2} - {1^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)({x^2} + x + {1^2})}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{({x^2} + x + {1^2})}}{{(x + 1)}} = \frac{{{1^2} + 1 + {1^2})}}{{(1 + 1)}} = \frac{3}{2} \end{array}

Chegado até aqui, vamos partir para os Limites Laterais.

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